Ya bêdem û entegrasyona. Computation ji integrals ya bêdem

Yek ji beşên bingehîn ên analîza matematîkî jimarkarî li perçeyên e. Ev yekreng zeviyê pir fireh ji hêmanên, ku yekemîn - ew e ya bêdem û entegrasyona. Asta ew radiweste, wek key e, ku hîn jî di dibistana bilind ku diçe hejmara mahkûmên ji perspektîvên û derfetên, ku matematîkê mezintir Ayet, diyar dike.

xuya

Di nihêrîna pêşîn de, wisa xuya ye bi tevahî ji bo modern, sîmbolî integral, lê di pratîkê de jî çêdibe ku ew dîsa li 1800 hat BZ. Home ku bi awayekî fermî ji Misrê ber çavan, wek ji me delîlên zûtir ji hebûna xwe bigihîne ne. Ev ji ber nebûna agahdariyan, hemû dema bi tenê weke diyardeyeke bi cih. Ew careke din di asta pêşketina zanistî yên gelên wan hatiye piştrast dike. Di dawiyê de, karên ku hatine dîtin de, xebatkar Greek kevnar, dating ji bz sedsala 4emîn. Ew rêbaza bikaranîn ku bêdem û perçeyên girîng, naveroka ku bû ji bo berga an herêma şiklê curvilinear (sê-alî û du-alî balafirê, bi rêzê) rave dike. qazenc ser esasê dabeşkirina hejmara original nav pêkhateyên infinitesimal pêk hat de, provided ku, qebareya (area) ji niha ve ji wan re tê zanîn. Bi demê re, rêbaza mezin bû, Archimedes ew ji bo dîtina ka li herêma a qend. Hesabkirina manend ên di heman demê de ji bo çavderîyê temrîn li Çînê kevnar, ku ew bi temamî serbixwe ji zanist hevalê Greek bûn.

pêşketina

The pêngaveke din di sedsala XI BC bûye karê alimekî ereb "wagon" Abu Ali al-Basri, ku sînorên paldan jixwe tê zanîn, ji formula perçeyên bo hejmartina nisxe ji mîqdarên û dereceyên ji pêşî ya çaremîn, serîlêdan ji bo vê tê zanîn ji me re hatin pêşxistin rêbaza gûhertin.
Hişê îro bi heyranên Misriyan de kevnar berhemên amazing, bê tu amûrên taybet tên afirandin, ji bilî ji bo ku destê xwe bi xwe, lê is e, hêza zanyar dîn ên wê demê kêmtir tu mûcîze ne? Bi nisbet bi demên niha yên jiyana xwe xuya hema hema primitive, di heman demê de biryara integrals ya bêdem û li her derê têne û di pratîkê de ji bo zêdetir pêşxistina bikaranîn.

Gava li pêş cihê di sedsala XVI de girt de, dema ku mathematician Italian Cavalieri rêbaza dabeşkirin, ku hildan birin Per Ferma. Ev her du kesayetiya bingeha ji bo calculus entegrasyona nûjen e, ku heta niha bi zanîn danîn. Ew têgehên cuda û entegrasyonê, ku berê wek yekîneyên xwe de girtî hatin dîtin girêdan. By û mezin, di matematîkê de ji wê demê de keriyên parçebûyî raveyên destê xwe de hene, bi bikaranîna sînorkirî bû. Way ku bibin yek û bibînin erdê hevbeş di gavê de bi tenê, rast bû, spas ji wî re, li modern analysis bîrkariyê de derfet ji bo mezin dibin û pêş bû.

Bi stendina dem her tişt û sembola perçeyên wek baş diguhere. By û mezin, ew zanistên ku li riya xwe bi xwe, ji bo nimûne, Newton bikaranîn a icon meydana, ku danîn peywireke integrable, an jî bi hev re danîn terxankirî bû. Ev newekheviya wan, heta sedsala hevdehan de, dema ku îşareteke ji bo hemû teoriya Gotfrid Leybnits zanyarê analysis matematîkî nasandin weha karektera nas ji me re berdewam kir. Aerodînamîka "S" di rastiyê de li ser vê nameyê ji bingeha alfabeya Roman, ji ber ku pêre yekûna primitives. The name of the perçeyên spas dest bi Jakob Bernoulli, piştî 15 salan.

The pênase fermî

The perçeyên ya bêdem û girêdayî li ser pênase yên seretayî jî, wusa em jî di rêza yekem de dibînin.

Antiderivative - hevkêşeya pileyî li works, di pratîkê de ku primitive navê e. Wekî din: function primitive yên d - we'deva D, ku works v <=> ye '= v e. Search primitive e bihejmêrî ya bêdem û integral, û pêvajoya bi xwe re dibêjin entegrasyona.

nimûne:

Fonksîyona s (y) = y ^3, û S xwe primitive (y) = (y ^4/4).

Koma hemû primitives ji function - ev têgîn ya bêdem e, ew du kevanan wiha ne: ∫v (x) dx.

Bi hukma wê yekê ku ye (x) - ne bi tenê hinek function original primitive, ramanê xudanê: ∫v (x) dx = V (x) + C, ku C - domdar. Di bin berdewam kêfî tê wateya ku tu berdewam, ji ber ku works wê sifir e.

milkên

The milkên cinoyî ya bêdem û integral, di bingeh de li ser pênase û milkên ji jêderên bingeha.
xalên key binêrin:

• works bingehîn a primitive primitive xwe plus keyfî berdewam C <=> ∫V e '(x) dx = V (x) + C;
• works of the yekparetîya a function function original <=> (∫v (x) dx) 'e = v (x);
• berdewam e, ji bin nîşana perçeyên <=> ∫kv (x) hatin binçavkirin dx = k∫v (x) dx, ku k - kêfî e;
• integral, ku ji sum ji identically wekhev bi kurtahî integrals <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy girtin.

The du xanîyan cara dikare bigihîje vê encamê ku entegrasyona ya bêdem û bi dîmenan e. Ji ber vê jî, em niha: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Bo bînînî wergerandî yên elaqedarî bi çareseriyên integrals ya bêdem.

Divê hûn li ser ∫ entegrasyona (3sinx + 4cosx) dx bibînin:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Ji nimûne em dikarin vê encamê, ku hûn nizanin ku çawa ji bo çareserkirina integrals ya bêdem? Just hemû primitives bibînin! Lê lêgerîna ji bo prensîpên jêr nîqaşkirin.

Rêbaz û Examples

Ji bo çareserkirina integral, tu ji bo rêbazên jêr nêv:

• amade ne, ku sûd ji ser sifrê;
• integre destê parçeyên;
• entegre, bi şûna variable;
• karê xwe di bin nîşana dîferensiyel.

maseyên

Ku hêsan herî û di sêrî de rê. Vê gavê, analîzên matematîkî dikarin maseyên pir berfireh, ku herfên formula bingehîn yên integrals ya bêdem û pesnê xwe bidin. Bi gotineke din, ne şablonên ji we Navdêr xwe li wir û hûn tenê dikarin sûdê ji wan. Here the list of çeperên sifrê sereke, ku dikare bê raberkirin hema hema her nimûne ye, çareseriya:

• ∫0dy = C, ku C - domdar;
• ∫dy = y + C, ku C - domdar;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, ku C - a berdewam, û n - Hejmara cuda ji yekîtiya;
• ∫ (1 / y) dy = ln | Y | + C, ku C - domdar;
• ^{∫e y dy = e y + C} , ku C - domdar;
• ^{∫k y dy = (k y /} ln k) + C, ku C - domdar;
• ∫cosydy = siny + C, ku C - domdar;
• ∫sinydy = -cosy + C, ku C - domdar;
• ∫dy / cos ² y = tgy + C, ku C - domdar;
• ∫dy / guneh ² y = -ctgy + C, ku C - domdar;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, ku C - domdar;
• ∫chydy = shy + C, ku C - domdar;
• ∫shydy = chy + C, ku C - domdar.

Ger ku hewce be, ku ji çend gavên rê integrand ji bo nîşan bide tabular û huneran serkeftina. MÎNAK: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x guneh (5x - 2) + C.

Li gorî vê biryarê eşkere ye ku ji bo nimûne a integrand sifrê peritîne carandinê 5. Em jî ji aliyê 1/5 ji bo îfade giştî lê zêde bike li paralel bi vê dibûn ew nayê guhertin.

Integration bi Parts

z (y) û x (y) - du erkên xwe bipejirîne. Ew divê her tim li ser domain xwe differentiable be. In yek milkên cudakirina em: d (xz) = xdz + zdx. Yekxistina her du aliyan, em bistînin: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Kanalê bi paşaroja wê encamê, em formula, ku li awayê întegrasyonê ji aliyê beşên de rave dike: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Çima pêwîst e? Ev rastiyeke ku, hin ji yên ku wergerandî gengaz e ku mirov sadetir e, em dibêjin, ji bo kêmkirina ∫xdz ∫zdx, eger ew xwediyê nêzîkî forma tabular ye. Jî, ev formula dikare ji bo encamên herî maqule bikaranîn, ji carekê zêdetir,.

Çawa ji bo çareserkirina integrals ya bêdem û bi vî awayî:

• pêwîst ji bo hesabkirina ∫ (s + 1) e ^2s ds

∫ (x + ^{1) e 2s ds = {= z} s + 1, dz = ds, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy = e 2x} ds} = ((s + 1) e ^2s) / 2-1 / 2 ∫e ^2s dx = ((s + 1) ^{2s e)} / 2-e ^2s / 4 + C;

• divê ∫lnsds dihejmêrin

∫lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} = slns - ∫s x ds / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

Li şûna variable

Ev prensîb, ji bo çareserkirina integrals ya bêdem in, li daxwazê ji her du yên berê ne kêmtir, çiqas aloz. Metoda ku wiha ye: Bila de (x) - di nav yekparetîya hin function v (x). Di bûyerê de ku di nava xwe de perçeyên girîng in mînak slozhnosochinenny bê, îhtîmal e ji bo tevlihev û herin jêr, ji bo çareserkirina rêya çewt. Ji bo tu nekevî vê guhertinê pratîkê de ji x variable ji bo z, li ku îfadeya giştî bi çavan simplified, herçend ji z li gor x.

Di warê bîrkariyê de, ev wiha ye: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), ku x = y ( z) - têxî. Û, bê guman, ku fonksiyona bervajiya z = y ^-1 (x) bi temamî têkiliya û têkiliya guherbarên de rave dike. Nota girîng - dx dîferensiyel de îlle bi dz differential nû li şûna wan, ji ber ku guhertina variable di perçeyên ya bêdem û maneyeke li şûna wê derê, ne tenê li integrand.

nimûne:

• ds - Divê ∫ (s + 1) / (5 ² + 2s s) peyda

Apply z têxî de = (s + 1) / (s ² + 2s-5). Hingê dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Di encama çalakiyê de, îfadeya li jêr e, ku pir hêsan e ji bo hesibandina:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• Divê hûn bibînin perçeyên ∫2 ^s e ^s dx

Ji bo çareserkirina qeydgûherrandin di forma jêr e:

^{∫2 s e s ds = ∫ (} 2e) s ds.

Em ji aliyê = 2e li Daqûq (li şûna yên ku argumana vê gavê e ne, ku hîn S), em bidin me ku qewî tevlîhev perçeyên form tabular bingehîn:

^{∫ (2e) s ds = ∫a} s ds = a s / lna + C = (2e) s / ln (2e) + C = 2 ^s e ^s / ln (2 + lne) + C = 2 ^s e ^s / (ln2 + 1) + C.

PCWK nîşanek differential

By û mezin, bi vê rêbazê ji integrals ya bêdem - birayê cêwî yên prensîba guherîna variable, di heman demê de cudahiyên di vê pêvajoyê de yên qeydê hene. Bila ji me re bi berfirehî zêdetir bifikirin.

Ger ∫v (x) dx = V (x) + C û y = z (x), paşê ∫v (y) dy = V (y) + C.

Di heman demê de, divê em li ser guherînên weta integral, di nav ku ji bîr neke:

• dx = d (x + a), û tê de - her berdewam;
• dx = (1 / a) d (ax + b), li ku jî - her tim dîsa, lê ne sifir;
• Jaylin = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Eger em doza giştî ku em dihejmêrin ya bêdem û perçeyên girîng dihesibînin, wergerandî dikarin di bin formula giştî w '(x) dx = dw (x) hat tesnîfkirin.

wergerandî:

• divê bibînin ∫ (2s + 3) ² ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² ds = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

alîkariya me bike

Di hin rewşan de, ji sûcê yên ku dikarin bibin an tiralîyê, an jî pêwîstiya lezgîn, tu dikarî li rengvedaneke bike kar, an jî bêtir, ji bo bikar calculator integrals ya bêdem. Tevî ku tevliheviya çavan û xwezayê nakok a integrals, biryara mijarê bi rêbazeke taybet xwe ye, ya ku li ser esasê prensîba "Eger hûn ne ... wê ..." li gor e.

Bê guman, a wergerandî taybetî tevliheviya wisa calculator bi wê serkarê, ku ne di dozên ku biryarê ji bo bi awayekî sûnî "bi darê zorê" ji aliyê agahdariyên li ser hêmanên hin di vê pêvajoyê de heye, ji ber ku encam bi awayên berbiçav bigihîn in. Tevî ku di xwezayê kêþe li vê daxuyaniyê de, ev rast e, wekî matematîk, di prensîbê de, an zanist razber, û armanca xwe ya sereke li pêwîstiya bihêz kirina sînorên dibîne. Bi rastî jî, ji bo hilû run-di teoriyên gelekî zehmet e to move up û veguherînin, da ku hûn bawer dikin, ne ku wergerandî yên çareserkirina integrals ya bêdem, ku me da - ev height of derfetên e. Lê dîsa ji bo ku ji aliyê teknîkî yên tiştan. Qet nebe ji bo kontrol hesabên, tu xizmetê de, di demeke ku ji bo me hat nivîsîn bi kar tînin. Ger pêwîst ji bo hesab û otomatîk ji têgînên aloz heye, hingê wan tune ne ku, çareyê to a nivîsbariyê bêtir cidî. Divê balê di serî de li ser jîngehê Matlab bidin.

sepanê

Di biryarê de ji integrals ya bêdem û awira ewilî de xuya dike bi temamî ji rastiyê vekişandine, ji ber ku zehmet e ji bo dîtina bikaranîna berbiçav yên balafirê. Bi rastî jî, rasterast ji wan re bi kar tînin tu ku derê ne dikare, di heman demê de ew a element hiskirin ku pêwîst di pêvajoya vekişîna yên çareseriyê bi kar di pratîkê de ne. Bi vî awayî, întegrasyonê ya cudakirina paş, bi vî awayî aktîf di vê pêvajoyê de ji bo çareserkirina hevkêşeyên beşdarbûna.
Di dorê, van hevkêşeyên xwedî bandoreke rasterast li ser biryara pirsgirêkên mekanîk, hesab û rotaya û Gehînerî termal - Di kurt de, her tiştê ku ji ya niha û rayagiştî de pêşerojê de. wergerandî Indefinite integral, yên ku me li jor hejmartin, bi tenê bi nihêrîna destpêkê weta, wekî wargeh bikar bînin ku bêtir û bêtir jî vedîtinên nû.