Cebîrê Boolean. cebîrê ji mantiqa. Hêmanên mantiqê matematîkî

Di cîhana îro de em bi her diçe bikaranîna cîhêreng ên makîneyên û gadgets. Û ne bi tenê dema ku pêwîst serî hêza rastiya xeraptir e: bar hilgirtinê, ji bo rakî ji height, kolandina xendeqê dirêj û kûr, û hwd. Cars îro kom robotan, xwarin bipije Multivarki û bi hesibandina Dallas seretayî berhemên calculators ... More û gelek caran em di komepeyva "cebîrê Boolean" bibihîzin. Dibe ku dem hatiye ku fêm bikin ku rola mirov li afirandinên robotan makîne û bi kapasîteya çareser ne bi tenê dikarî bîrkariyê de, di heman demê de bi pirsgirêkên herî maqûl.

mantiqa

Di mantiqê Greek - an sîstema ferman ji ramanek ku diafirîne, peywendiyên di navbera şert û mercên dayîn û destûrê dide te ji bo ku her tiştî li ser ferzkirin û bi texmînî. Gelek caran, em ji hev pirsîn: "Ev herî maqûl e ji bo" Bersiva pêşmercên me dike, mor dike an jî rexne li trênê ramanê. Lê pêvajoya bi wir namîme: em berdewam bi axivin.

Carna hejmara mercên (input) ewqas mezin e, û têkiliya di navbera wan da tevlîhev û aloz e, ku di mejiyê mirovan e, nikare "digest" hemû di cih de ne. Hun dikarin zêdetir ji yek mehê de (hefteyê, sal) ji bo têgihiştina tiştên ku diqewimin divê. Lê, jiyana nûjen nayê bi me re van navberan dem ji bo ku biryarên bidin. Û em ji bo ku alîkariyên ji komputerên nêv. Û ew li vir e ku cebîrê û mantiq, bi qanûn û milkên xwe. Piştî daxistina hemû daneyên original, em rê nedin ku kompîter bi naskirina hemû têkiliyên, ji bo nehiştina nakokiyên wê û ji bo dîtina çareserîyeke tetmînkar.

Matematîk û mantiqa

Navdar Gotfrid Vilgelm Leybnits têgeha "mantiqa bîrkariyê de", ku erkên hêsan fêm tenê derdoreke teng a alimên bûn formulekirin. Bi taybetî bala ji alî neda sedema e, û ji nîveka sedsala XIX û mentiq bîrkariyê de tê zanîn ji aliyê çend.

Eleqeya mezin di civaka zanistî sedema hatiye nelihevkirinek di ku de Englishman Dzhordzh Bul ragihand niyeta wî ya ji bo avakirina şaxekî ji matematîkê, ku ti bikaranîna pratîkî ne. Ji ber ku em ji dîrokê dizanin ku, di vê demê de bi awayekî aktîf xurt berhemanîna pîşesazî, em bi pêş de her cûreyê makîneyên auxiliary, t. E. Hemû vedîtinên zanistî a ahengdarî pratîk kirin.

Li benda, em dibêjin ku cebîrê Boolean - herî used di cîhanê de îro beşek ji matematîkê. So argumana xwe Buhl ji dest da.

Dzhordzh Bul

Kesayetiya nivîskarê hêjayî balê taybet. Even dayîn, ji ber ku di nava gelê borî de li ber me mezin bû, hîn jî, divê bê diyarkirin ku di 16 salên dawî ya John. Buhl li dibistana gund de hîn dikir, û ji bo 20 salan dibistana xwe bi xwe di Lincoln vekirin. Mathematician bêqisûr hosta, pênc zimanên biyanî, û di dema xwe ya vala, hat xwendina berhemên ya Newton û Lagrange. Û hemû ev - li ser kurê karkerekî ji rêzê ye!

Di 1839, Buhl yekem gotarên zanistî xwe li Cambridge Mathematical Journal şandin. Zanyarê zivirî 24 salî. kar Boole ji endamên da bala a Royal Society, di 1844 ew madelyaya ji bo alîkariya wî ya ji bo pêşxistina qebûl e analysis matematîkî. A çend rojnameyên weşandin, li ku hêmanên mantiqê matematîkî, matematîk, destûr ji ciwan ji bo postê profesor li College of County Cork hatin destnîşankirin. Bibîr bînin, ku di perwerdeyê de pir Boole bû ne.

fikir

Di prensîbê de, cebîrê Boolean pir hêsan e. hene daxuyaniyên (mentiqî de îfadeyên) ku, ji ya nihêrîna matematîkê de, bi tenê dikare li du gotinên bên naskirin: "rast" an "derewîn". Ji bo nimûne, darên li bloom biharê - bi rastî, di havîna dibare - derew e. Bedewiya matematîkê ye ku ev e bi tevahî ne pêwîst bi kar bi tenê hejmar. Ji bo dadbariyên cebîrê ji pir fit ti daxuyaniyên bi wateya bêhempa ye.

Bi vî awayî, cebîrê ji mantiqa dikare di rastiya xwe de li her derê tê bikaranîn: li scheduling û nivîsandina bi talîmata, analîza agahiyên nakok ên di derbarê bûyerên û ji bo diyarkirina cihekê çalakiyan. Ya herî girîng jî - ku bizanibin ku ev ne girîng e em çawa bi rastî an falsity ji daxuyaniyên xwe diyar bikin. Ji van "çawa" û "çima" divê hûn piştguhkirin. Ya girîng tenê bi daxuyaniyekê ji rastiyê ye: bi rastî derewan e.

Bê guman, bernamên bi erkên herî girîng ya cebîrê ji mantiqa bibînî ku bi nîşan û sembolên tomarkirin. Û fêrî wan - ev tê wê wateyê ku fêrî zimanekî biyanî nû. Tu tişt ne mumkin e.

têgehên bingehîn û salixdanên

Bê diçim nav kûrahiya, em bi termînolojiyê de eleqedar. Bi vî awayî, cebîrê Boolean serbest dibe:

• daxuyaniyên;
• operasyonên mantiqî;
• fonksîyon û qanûnên.

Rageyendrawekanî - ti îfadeyê ev ręje jî ku dikare were famkirin, du-dibinin. Ew wek hejmar (5> 3) an de hatîye nîşankirin peyvên nas (- mezintirîn mammal elephant) hatiye nivîsîn. Di vê rewşê de, di komepeyva "qirika giraffe e, ne" jî heye ku hebûna xwe heye, bi tenê cebîrê Boolean wek define "derew e."

Hemû daxuyaniyên divê pêbawer be, lê ew bibin bingehîn an jî dikere. Recent bikaranîna gurzek vacî. E. Di dikere daxuyaniyên cebîrê dîwankirina avakirin ji aliyê bilî operasyonên mantiqa bingehîn.

operasyonên cebîrê Boolean

Em ji niha ve bînin bîra xwe ku di operasyonên di cebîrê ji dadbariyên - vacî. Çawa ku cebîrê ji hejmara bikaranîna operasyonên Dallas to lê zêde bike, salekê, an our hejmar, hêmanên mantiqê bîrkariyê de destûr da ku daxuyaniyên aloz, ji bo înkar bike an jî ji bo hesabkirina encama dawî.

operasyonên Logic ji bo formalization û sadebûn û îfade ji aliyê formula, nas ji me re li çêdibe. Properties ji hevkêşeyên cebîrê Boolean bidin ku ji bo qeydkirin û hejmêrim nenas. operasyonên Dîlberê bi piranî ji aliyê sifrê rastiyê de tên tomarkirin. hêmanên wê stûnên û operasyona computing e, ku li ser wan pêk define, û rêzên nîşan encama bibana.

mantiqa bingehîn yên çalakiyê de

The herî belave li operasyonên cebîrê Boolean ne bi neyînî (NE), û ya herî maqûl Û û OR. Lewma, ev mimkun e ji bo danasîna bêje hemû gavên bi dadbariyên cebîrê. Em bi berfirehî her yek ji wan sê operasyonên xwendiye.

The neyînî (ne) ku bi tenê yek element (operand) Bûrsayê dan. Ji ber vê yekê, di operasyonê de înkara unary kir. To difa ku têgeha "ne A" bi bikaranîna van sembolan: ¬ل, A an A !. Di formê tabular ew wisa xuya dike:

Fonksîyona yên înkar tîpîk ji yên weha re daxuyaniyek: eger A rast e, hingê A - derewîn e. Ji bo nimûne, heyv digere li dora Earth - rastiyê; derewan - Earth li dora heyvê digere.

multiplication Dîlberê û ji bilî

Dîlberê Û operasyonê a bi minasebeta kir. Ev tê çi maneyê? Di serî de, ku ev dikare ji bo du operands serî, yanî, ez - .. operasyona Binary. Ya duyemîn jî, ew bi tenê di doza ku ji aliyê rastiyê hem ji operands (hem A û B) ye, ne rast e û îfadeya xwe. Ku metelok, "sebr û hinekî din hewl" dide nîşandan ku bi tenê du faktoran dikarin alîkarîya kesekî ji heqî zehmetî.

A∧B, A⋅B an A && B.: sembolên ji bo qeyda bikaranîn

Conjunction similar to multiplication li Dallas peqand ye. Carna û dibêjin: - multiplication vacî. Eger hêmanên rêzên ser sifrê we de zêde, em di encama similar to hizirkirina menteqî bistînin.

Disjunction a zindî an operasyonê ye. Ev rast e, eger bi kêmanî yek ji daxuyaniyên rasteqîn (A yan jî B) e. A∨B, A + B an A || B.: Ew wekî ev hatiye nivîsîn: ser sifrê rastiyê ji bo van operasyonan in:

Disjunction bilî Dallas similar. operasyonê de ji bilî aqilane bi tenê yek ji sînordarkirina: 1 + 1 = 1. Lê em ji bîr nekin ku di formata dîjîtal heye ku mantiqa matematîkî 0 û 1 bi sînor (li cihê 1 - bi rastî, 0 - derewîn). Ji bo nimûne, di daxuyaniyê de "li muzeya tu xebata hosteyekî bibînin an şirketekê bibîne baş" tê wateya tiştê ku hûn dikarin berhemên hunerî yên bibînin, û mumkin e ji bo hevdîtina kesekî balkêş. Di heman demê de, ji serweriyê ne îhtîmala ji mîaserkirina hemwext yên her du bûyeran de.

Kar û qanûnên

Vê yekê, em ji niha ve çi operasyonê de herî maqûl bikaranîna cebîrê Boolean dizanin. Kar û salix Hemû taybetiyên hêmanên mantiqê bîrkariyê de, û rê ji me re asankirin daxuyaniyên têkeleke kompleks. The zelal herî û sade xuya dike malê redkirina operasyonên jêderên. By jî jêderên bi fêm XOR, başiya û hevnirxîya. Bi qasî ku em bi tenê bi operasyonên bingehîn xwendin, û paşê bi malê jî bi tenê ji wan bifikirin.

Associativity tê wê wateyê ku di îfadeyên wek "hem A û B, û B 'listing Bûyer li operands ne girîng e. The formula wiha hatiye nivîsîn:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Wek ku hûn dibînin, ev e yekta ji xaçerêya lê disjunction ne.

Commutativity îddîa dike ku di encama xaçerêya an disjunction ne girêdayî ne ku li ser babete li jor anîne hate hesibandin:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity destûrê bixemilînî li îfadeyên aloz mentiqî de eşkere bike. Rules mîna ya parantêzekê vekirina di multiplication û ji bilî li cebîrê in:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

milkên Unit û sifirê, ku dikare bibe yek ji operands jî mîna ya multiplication ceberî by zero an yek, û ji bilî yên yekîneyeke in:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency ji me re dibêje ku eger nisbeten du operands wekhev di encama operasyona di heman e, hûn dikarin "bavêje" ji pênasîna operands minaqeşeyên çű. Û operasyonên xaçerêya û disjunction idempotent in.

B∧B = B; B∨B = B.

Derheqê jî rê dide me ku asankirin hêlekê. Absorption dibêje ku dema îfadeya ku yek operand serî, operasyona din jî bi hêmana heman operand encama vê de ye absorbing operasyonê.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

Bûyer operasyonên

Bûyer operasyonên e ji girîngiyeke mezin. Bi rastî jî, wek ku ji bo cebîrê, e we'deva pêşanî ku ji zimên a cebîrê Boolean hene. Şablon dikare bi tenê ji bo li ser giringiya operasyonên mijara hesan kirin. Deng ji herî girîng a ji bo marjînal e, em li cihekê li jêr bidest:

1. Înkarkirina.

2. Conjunction.

3. The disjunction, XOR.

4. başiya, hevnirxîya.

Wekî ku tu jî, tenê bi neyînî ji xaçerêya dibînin û hûn pêşanî wekhev heye ne. A pêşanî ya disjunction û XOR wekhev, û herweha li pêş başiya û hevnirxîya in.

Kar û ji başiya û hevnirxîya

Wek em dibêjin, ji bilî operasyonên vacî bingehîn, mantiqa matematîkî û teoriya algorîtmayên bikaranîna jêderên. Ev e, piraniya caran başiya û hevnirxîya.

Tawanbar kirina an encam de herî maqûl - ev daxuyaniyê de, ku yek ji çalakiya rewşa e, û ya din jî - di encama wê radigehîne. Bi gotineke din, ev pêşniyara bi hinceta ku "heger ... piştre". "Piştî şîvê tê de dibîne." E. Ji bo ajotina ji bo ku li ser çîya şematok şidandin. Ger tu daxwaza to move ji çiyê hatin xwarê, û wê bikişîne û şematok li wir e û pêwîst ne. Ma da nivîsîn: A B an A⇒B →.

Hevnirxîya dide xuyakirin ku bandora net diqewime bi tenê dema ku herdu operands rast in. Ji bo nimûne, bi şev rê ji bo roj paşê (û tenê wê) dide, dema ku roj li ser asoyê de rabe. Di zimanê mantiqa matematîkî ya vê daxuyaniyê de ku weke A≡B, A⇔B, A B. == nivîsîn

Qanûnên din yên cebîrê Boolean

dîwanê Algebra pêş, û gelek zanyaran bala ji bo amadekirina qanûna nû. Herî navdar tên hesibandin û îdiayên mathematician Scottish O. De Morgan. Wî dît û pênase milkên wek înkara nêzîk de, ji bilî û neyînî double da.

Close înkar nîşan dide ku beriya ku parantêzekê e tu înkar: ne (A yan B) = ne A an B. NOT

Dema ku operand red dike, bêyî ku li nirxê xwe, li ser wiha dibêjin:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Û di dawiyê de, ji înkara qat bi xwe, tezmînata. ango berî yan jî neyînî operand wenda dibe an jî yek bi tenê dimîne.

Çawa ji bo çareserkirina testên

Logic gehîne sivikkirina zafanê hevkêşeyên. Çawa ku di cebîrê Lie de, pêwist e ji bo dîkîn, hêsankirina rewşa pêşî (to get operasyonên input tevlîhev bikujin, û bi wan re), paşê dest bi digerin ji bo bersiveke rast.

Çi bikim asankirin? Convert hemû jêderên di operasyona sade. Hingê hemû bixemilînî bikirên (yan jî tersê wê, ji bo ku di nav parantêzê de ji bo kêmkirina vê element). Gava li pêş, divê mirov ji bo bikaranîna milkên cebîrê Boolean di pratîkê de (milkên melzemeyek sifir û yek, û t.).

Di dawiyê de, li hêlekê divê hejmareke kêm ji Selena, bi hev re bi operasyonên sade pêk tê. Rêya herî hêsan ku ji bo çareseriya binêrin, eger tu şaşiyekê hejmareke mezin ji Negatives nêzîk. Hingê bersiv dê wek ku destê xwe pop.